贝叶斯：起步（4/4），三人成虎吗？（附代码）

概率论（英语：Probability theory）是研究概率、随机性及不确定性等现象的数学分支，而贝叶斯学派(Bayesians)又是其中有代表性的流派。每周四更新，本文为贝叶斯系列文章第 4 期，再用一个生活中的例子感受下贝叶斯公式的力量。贝叶斯：起步（4/4），三人成虎，很有意思的例子（附代码）

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上周四，我们通过一个例子认识了贝叶斯公式的力量，

$$
P(A\mid B)={\frac {P(A)P(B\mid A)}{P(B)}}
$$

这个公式还有一个略显复杂的版本，长这样，

$$
P(A_i\mid B)={\frac {P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^{\infty}P(A_j)P(B\mid A_j)}}
$$

这个公式可以这么理解：$A_j$ 是一系列事件，所有这些事件构成了完整的 $A$ 事件，$A_i$ 是其中一个我们想研究的特定事件。比如，

勘误

上一篇文章中的 $P(A)=P(A\mid C_\text{box1}) + P(A\mid C_\text{box2})$ 虽然算的是对的，但实际上应该如上面的分母那样表示为 $P(A)=P(C_\text{box1})P(A\mid C_\text{box1}) + P(C_\text{box2})P(A\mid C_\text{box2})$

实例一：三人成虎

问题：你问三个人一件事的真实性，每个人给你的答复都有说谎的可能性。请问，如果三人都说某个事是真的，这个答案的实际真实性如何？

列出贝叶斯公式，

$$
P(A_1\mid B)={\frac {P(A_1)P(B\mid A_1)}{\sum_{j=1}^{2}P(A_j)P(B\mid A_j)}}
$$

关注贝叶斯公式右边，

• 某事件为真（$A_1$）的概率为 $P(A_1)=x$，这将会是一个先验概率；
• 某事件为假（$A_2$）的概率为 $P(A_2)=1-x$；
• 考虑三人成虎，三人都说一件事为真 $P(B)$ 的概率，只有两种情况，
  • $P(A_1)P(B\mid A_1)$，事件为真（$A_1$）时，三个朋友都说该事件为真（$B$）的概率为 $y^3x$;
  • $P(A_2)P(B\mid A_2)$，也就是说谎话，事件为假（$A_2$）时，三个朋友还说该事件为真（$B$）的概率为 $(1-y)^3(1-x)$

代入公式，

$$
P(A_1\mid B)=\frac{y^3x}{y^3x+(1-y)^3(1-x)}
$$

实例

例如，老家下雨的概率为 0.5，我问了 3 个人，他们都说现在老家确实正在下雨，而这 3 个人说谎的可能性是 0.3，请问确实在下雨的概率是多少？

代入 $x=0.5, y=0.7$，

$$
P(确实下雨\mid 三人说下雨)= \frac{0.1715}{0.1715+0.0135}=0.927
$$

显然，这比我们事先得到的 0.5 的先验概率要高的多，所以这种情况下三人并不成虎！

另一个角度：问的人越多，答案越真实吗

进一步看上面这个公式，我们思考，如果生活中都是这样的人，我们求证一件事情的时候，是问的人越多越好吗？

很简单，我们看这贝叶斯公式：

$$
P(A_1\mid B)=\frac{y^3x}{y^3x+(1-y)^3(1-x)}
$$

再抽象一下，

• 认为每个人的诚实度都一样，为$y$
• 认为事情发生的先验概率，也就是历史总结出来的概率，为 $x$

再确定“三人成虎”

画出 x 和 y 的关系 f(x,y) = (x*y**3)/(x*y**3+(1-x)*(1-y)**3)-x，也就是看着两个因素对于事情可信度提升的影响，

可以从图中观察到一些重要的信息，

• 当 y>0.5 时，即人们比较诚实时
  • x越小，z越大
  • 也就是说，先验概率发生概率越小，通过问人得到肯定答复，可以得到更高的可信度
• 当 y<0.5 时，即人们不诚实时
  • x越大，|z| 越大
  • 也就是说，如果这些人平时就喜欢撒谎，那一件事发生的可能性越大，你从这些人口中得到肯定答复后，这件事的可信度反而更低

总的来说，选择诚实的人去问问题，得到正面答复后，这事的可信度会更高。

代码

# Import the necessary modules
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define the function to plot
def f(x, y):
    return (x*y**3)/(x*y**3+(1-x)*(1-y)**3)-x

# Create a grid of x and y values
x = np.linspace(0, 1, 50)
y = np.linspace(0, 1, 50)
x, y = np.meshgrid(x, y)

# Compute the z values
z = f(x, y)

# Create a figure and an axes object
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Plot the surface
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')

# Add labels and title
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('Surface plot of f(x,y) = (x*y**3)/(x*y**3+(1-x)*(1-y)**3)-x')

# Add a plate as x=z
x2 = x # Use z as the x values for the plate
y2 = y # Use y as the y values for the plate
z2 = np.zeros_like(x2) # Use zeros as the z values for the plate
ax.plot_surface(x2, y2, z2, color='red', alpha=0.5) # Plot the plate with red color and transparency

# Show the plot
plt.show()

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