粗略估算技巧——何时翻1000倍

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本文属于粗略估算技巧系列文章，上篇文章讲了72法则。本文介绍一个搭配72法则来进一步估算翻很多倍所需要的时间的方法。

投资一笔钱，年化收益为 $4%$，问多少年后这笔钱会翻倍？

昨天文章中介绍的72法则可以轻松做一个估计。

那么如果问题变成：

投资一笔钱，年化收益为 $4%$，问多少年后这笔钱会翻 $1000$ 倍？

今天进一步说下这个翻 1000 倍的问题。

基础

搭配72法则先算出翻倍的时间 $n$，再利用常见的倍数关系计算翻多倍的时间。比如，翻 $1000$ 倍的时间是 $10n$，翻 $1000000$ 倍的时间是 $20n$。

$$
\begin{split}
2^{10} = 1024 \approx 10^3,\
2^{20} = 1048576 \approx 10^6,\
2^{30} = 1073741824 \approx 10^9
\end{split}
$$

注意

看得出来，是估算，不准确的！会比实际值多了一点点。

应用

可以对大数量级的翻倍时间有一个估算。尤其适用于程序设计时的估算。

过程助记

• 翻倍是 72 除以复利百分数。
• 10 次翻倍是 thousand，20 次翻倍是 million， 30 次翻倍是 billion。

举例

例一，金融

投资一笔钱，年化收益为 $4%$，问多少年后这笔钱会翻 $1000$ 倍？

• 先用72法则计算翻倍时间，$72\div4=18$，需要 $18$ 年
• 再用本文中的倍数关系 $2^{10}\approx 1000$ 估算，即需要 $18 * 10 = 180$ 年能翻 $1000$ 倍

例二，计算机，《编程珠玑》

假设一个指数程序解决规模为 $n=40$ 的问题需要 $10$ 秒，$n$ 每增加 $1$ 运行时间就增加 $12%$，问 $n$ 增加多少时，运行时间会翻 1000 倍？

• 先用72法则计算翻倍时间，$72\div12=6$，即 $n$ 每增加 $6$，运行时间就会加倍
• 再用本文中的倍数关系 $2^{10}\approx 1000$ 估算，即 $n$ 增加 $6 * 10 = 60$ 时，运行时间变为 $1000 * 10 = 10000$ 秒。

特别的，当 $n$ 增加 $6 * 20 = 120$，即 $n=160$ 时，运行时间变为 $10^6 * 10= 10^7$ 秒，差不多 $4$ 个月。

一年有 $3.15*10^7$ 秒

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