粗略估算技巧——72法则，估算翻倍所需时间

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本文属于粗略估算技巧系列文章，前文已经介绍了舍九法，本文介绍一个非常有用的估算翻倍时间的工具——72法则。

投资一笔钱，年化收益为 $4%$，问多少年后这笔钱会翻倍？

上面是我们生活中很常见的估算问题，本文介绍72法则来解决。

表述

在金融领域，72法则用来估算投资翻倍时间的方法。使用数字72除以每期（通常是年）的利息百分比，得到的结果就是翻倍所需要的大致期数。

In finance, the rule of 72, the rule of 70 and the rule of 69.3 are methods for estimating an investment’s doubling time. The rule number (e.g., 72) is divided by the interest percentage per period (usually years) to obtain the approximate number of periods required for doubling. Rule of 72

基础

$$
t = \frac{\ln(2)}{\ln(1+\frac{r}{100})} \approx \frac{72}{r}
$$

• $r$, an interest rate of $r$ percent per period
• $t$, the number of periods required for doubling time

应用

简单讲，就是算复利到什么时候翻倍。

用于估算指数过程的增长。

过程助记

本金翻倍的规律。

用 $72$ 除以单位增长率的整数部分，得到翻倍所需要的单位数。

• 单位增长率，例如每年增长率 $20%$ 的 $20$
• 单位数，例如多少年，$72\div 20 = 3.6$，$3.6$ 年

举例

例一，金融

投资一笔钱，年化收益为 $4%$，问多少年后这笔钱会翻倍？

文章开头的这个问题很简单，$72\div4=18$，需要 $18$ 年。（😂打工人哭泣）

例二，计算机，《编程珠玑》

假设一个指数程序解决规模为 $n=40$ 的问题需要 $10$ 秒，$n$ 每增加 $1$ 运行时间就增加 $12%$，问 $n$ 增加多少时，运行时间会翻倍？

$72\div12=6$，即 $n$ 每增加 $6$，运行时间就会加倍。（😂软件工程师哭泣）

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