贝叶斯：起步（3）
概率论（英语：Probability theory）是研究概率、随机性及不确定性等现象的数学分支，而贝叶斯学派(Bayesians)又是其中有代表性的流派。每周四更新，本文为贝叶斯系列文章第 3 期，用一个完整的例子感受下贝叶斯公式的力量。贝叶斯：起步（3）
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上周四，我们一起品味了这个贝叶斯公式，并且给出了一些术语的解释。
$$
P(A\mid B)={\frac {P(A)P(B\mid A)}{P(B)}}
$$
有细心的读者也指出了其中一些问题。这让我感觉有些读者还是不太清晰这些概念，那还是停一停。这里我画个表格，明确一下。
术语再理解
假设有两个外边看不见内部的盒子（不多说了，你应该知道啥意思），盒 1 有 5 个球，3 黄 2 红；盒 2 有 7 个球，4 黄 3 红。
下面再看这些概念，
| 概念 | 符号 | 通俗理解 |
|---|---|---|
| 事件 | A | 某种特定的情况，比如“从盒 1 拿出一个球（这里是确定的），这个球是黄色的”(A) |
| 先验概率 | $P(A)$ | 当下就知道的某个事件的发生概率，上面说的拿出黄球的概率 $P(A)=3/5$ |
| 联合概率 | $P(A\bigcap B)$ | A事件和B事件同时发生的概率；A和B之间是没有关联的；比如“同时从盒1、2中拿出黄球”的联合概率$P(A\bigcap B)=P(A)\times P(B)=12/35$ |
重要理论
- 统计独立性
- 当且仅当两个随机事件A与B统计独立的，这样联合概率可以表示为各自概率的简单乘积
- 简单讲，就是 A 和 B 的发生没有关联
- 比如上面，分别从盒1、2中取球，两次取球就是独立的
好了，接下面是重头戏，一般是问题中比较烧脑的部分。
条件概率（后验概率）
$P(A\mid C_\text{box1})$，$C_\text{box1}$ 事件发生的情况下，A 事件发生的概率。
条件概率等价于后验概率，这个说的比较笼统，但我不觉得有什么不妥。条件概率是从形式上说的，后验概率是从陈述性表达上理解的。
先来个简单的，“随机（相当于蒙住了盒子号码）选择盒子，选择了盒子1，并从中拿出一个球，这个球是黄色”，可以表述为符号 $P(A\mid C_\text{box1})$，
- $A$ 事件，取出一个球（不管哪个盒子），这个球是黄色
- $C_\text{box1}$ 事件，随机选到盒子1
所以 $P(A\mid C_\text{box1})$ 就是说，我随机选择了盒子1（$C_\text{box1}$），拿出的球是黄色($A$)的概率。因为两个事件独立，所以算这个概率很简单，
$P(A\mid C_\text{box1})=P(A)\times P(C_\text{box1})=3/5\times 1/2=3/10$
就是说，随便选一个盒子，这个盒子是盒 1 且拿出来的球是黄球概率是 0.3。
贝叶斯的力量
上面那种情况好算吧，但往往我们需要求解另一种更烧脑的情况——反过来。
比如，$P(C_\text{box1}\mid A)$，“取出了一个黄球（$A$），这个黄球来自盒1（$C_\text{box1}$）”的概率。
这种需求很常见，但是怎么算呢？这就要利用贝叶斯公式。
代入贝叶斯公式，
$$
P(C_\text{box1}\mid A) = \frac{P(A\mid C_\text{box1})\times P(C_\text{box1})}{P(A)}
$$
右边，
- $P(A\mid C_\text{box1})$ 上面算过了，$3/10$
- $P(C_\text{box1})$，$1/2$
- $P(A)=P(A\mid C_\text{box1}) + P(A\mid C_\text{box2})$
- $=3/5\times 1/2 + 4/7\times 1/2=41/70$
体会到神奇之处了吗，对于这个烧脑的问题，居然可以通过贝叶斯“逆向”计算出来，结果是 $21/82$，就是说拿出黄球，黄球来自盒1 的概率是 $25.6%$ 左右！
时间仓促，不知道写对没有，欢迎斧正！
下期我们再列几个现实生活中的例子~
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